Проективная плоскость, «с полным её разоблачением»

Гладкая модель проективной плоскости в 5-мерном пространстве (без изломов и самопересечений)
Проективная плоскость в обычной интерпретации — это объект, элементами которого являются обычные прямые, проходящие через какую-либо одну фиксированную точку M в обычном трехмерном пространстве. Если назвать такие прямые p-точками, а плоскости, проходящие через точку M – p-прямыми, тогда через любые две p-точки проходит ровно одна p-прямая, а любые две p-прямые пересекаются в одной p-точке.

Возьмём какую-нибудь сферу с центром в этой точке M. Тогда проективную плоскость можно попробовать представить себе как объект, который получится, если все диаметрально противоположные точки на сфере слепить попарно.

p-plane-square-abcd.gifПо-другому, модель проективной плоскости можно попытаться построить, если склеить попарно стороны квадрата ABCD так, чтобы направленный отрезок AB наложился на CD, а BC — на DA.

В отличие от, например, сферы, это односторонняя поверхность, у неё нет «внутренней» и «наружной» стороны.

В обычном 3-мерном пространстве невозможно построить такую поверхность без самопересечений. В 4-мерном пространстве можно построить модель с особой точкой (остриём).

скачать файл GIF, около 1 мегабайт А в 5-мерном пространстве легко строится гладкая поверхность, реализующая все свойства проективной плоскости.

Пусть x12 + x22 + x32 = 1
обычная 2-мерная сфера S в 3-мерном пространстве R3 с координатами (x1, x2, x3).

Рассмотрим такое отображение этой сферы в R6:

y1 = x12, y2= x22, y3= x32, y4= x1x2, y5 = x2x3, y6= x1x3

Пусть P – образ сферы S при этом отображении. Ясно, что каждой паре противоположных точек сферы соответствует ровно одна точка в множестве P. Но так как P лежит в 5-мерной гиперплоскости y1 + y2 + y3 = 1, то получаем модель проективной плоскости в 5-мерном пространстве (эта или похожая реализация предлагается в учебнике по дифференциальной геометрии Мищенко и Фоменко).

Чтобы представить, как такая штука может выглядеть, я сделал несколько проекций этого объекта на случайным образом выбранные плоскости. В одном файле – последовательность из 20 таких случайных проекций (скачать GIF-анимацию, около 1 мегабайт). Во втором – большом файле — 450 кадров, при этом плоскости проекции соседних кадров близки (скачать файл – 21 МБ).

Если честно, ясности мне это так не прибавило. Но, возможно, это более наглядное представление, чем на рисунках А.Т. Фоменко.

Обн.: теперь есть ещё и модель проективной плоскости на видео!

2 комментария на «Проективная плоскость, «с полным её разоблачением»»

  1. Спасибо за наглядные иллюстрации. Очень здорово.
    Судя по этим проекциям может показаться что проективная плоскость обладает С^3 симметрией,
    так ли это?

  2. Спасибо за наглядную иллюстрацию. Очень здорово вышло.

Добавить комментарий

Ваш email не публикуется. *
Можно использовать эти HTMLтэги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>